Oscar Daniel Gañan Montoya 10 A: Hipérbola

Hipérbola

Es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas $(0, 0) \,$ y ecuación de la hipérbola en su forma compleja.

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto $(h, k) \,$

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Ejemplos:

$\frac{(x)^2}{25} - \frac{(y)^2}{9} = 1$

$\frac{(x)^2}{9} - \frac{(y)^2}{25} = 1$

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos $z\,$ , en el plano $Re Im\,$ ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias $|z-w_1|-|z-w_2|\,$ , a dos puntos fijos llamados focos $w_1\,$ y $w_2\,$ , es una costante positiva igual al doble de la distancia (osea $2l\,$ ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuacion queda: $|z-w_1|-|z-w_2|=2l\,$

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Ecuaciones en coordenadas polares

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

$r^2 =a\sec 2\theta \,$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

$r^2 =-a\sec 2\theta \,$

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

$r^2 =a\csc 2\theta \,$

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

$r^2 =-a\csc 2\theta \,$

Ecuaciones Paramétricas

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

$\begin{matrix} x = a\cosh t + h \\ y = b\sinh t + k \\ \end{matrix} \qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix} x = \pm a\csc t + h \\ y = b\ \operatorname {tan}\ t + k \\ \end{matrix}$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

$\begin{matrix} x = a\cosh t + h \\ y = b\sinh t + k \\ \end{matrix} \qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix} x = a\ \operatorname {sen}\ t + h \\ y = \pm b\tan-1 t + k \\ \end{matrix}$

Ejemplos